Logaritmos

cuando estamos calculando una potencia nos preguntamos por su resultado, es decir, el resultado de la multiplicación: pero como mucas ocasiones necesitaremos preguntarnos cor cuál debe ser el exponente para el que el resultado sea un valor dado, por ejemplo, ya hemos visto que 3^4 es igual a 81; en algún momento nos hemos preguntado cuál debe ser el exponente para que 3^¿?=81.

en la selección anterior calculamos potencias, ahora encontraremos exponentes. Cuando hacemos esto(encontrar exponentes), decimos que estamos encontrando o calculando el Logaritmo.

como en la potenciación, usaremos una notación para representar los logaritmos, la cuál tiene mucha relación con la usada en la potenciación y es la siguiente:

 

Cuando escribimos , leemos el logaritmo en base 2 de 64 es igual a 6; y quiere decir que el exponente necesario para que la potencia sea 64, cuando la base es 2, es 6.

Nota: Es claro que, por ejemplo, luego podemos pensar que , lo cual es cierto de manera como se ha presentado anteriormente, pero debemos tener en cuenta que los logaritmos se definen únicamente para bases positivas lo cual lleva a concluir que no podemos calcular logaritmos de números negativos. Es decir, cuando tengamos algo como con a positiva y b negativo diremos que no existe.

Nota 2: cuando calculemos logaritmo en base 10 escribimos simplemente log en lugar de . Por ejemplo, log 100= 2 porque  = 100.

al igual que con las potencias, con los logaritmos tenemos propiedades que nos permiten manipularlos de una manera; estas son las siguientes:

Propiedades de los logaritmos

supondremos que a,b y c son números reales positivos y r un número real cualquiera

1. Es decir, el logaritmo (en cualquier base) de la misma base es igual a 1.

2. Esto pues 

3.  

4. Esta propiedad y la anterior nos dicen que los logaritmos y la potenciación son inversas, algo así como la raíz cuadrada y el exponente de 2, es decir, se cancelan.

5. 

6.  

7.  esta propiedad es un caso particular de la propiedad (5), solo que se multiplica el mismo termino r veces.

8.   esta es la propiedad de cambio de base de los logaritmos, es decir, si tiene un logaritmo en una base que no nos interesa, podemos cambiar a otra base; por ejemplo, para encontrar logaritmos (cuyo valor no es exacto principalmente) debemos usar una calculadora, pero en la mayoría de calculadoras solo aparecen los logaritmos en base 10 (entre otros que mas adelante estudiaremos), por tanto debemos pasar a base 10.