Videos de aplicación de mcm, mcd, valor absoluto, y otros

Historia de las desigualdades.2

No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones pero se cree que se originaron poco después de las ecuaciones (1700aC. - 1700dC.) debido al surgimiento de un problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un grupo de números.

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b

se han pasado más de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax=b

x + ax + bx=0

donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".

En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x =24.

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.

La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b y a ≥ b (a es mayor o igual que b).

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

Clasificación 

Los criterios más comunes de clasificación de las inecuaciones son:
Según el número de incógnitas,

1. De una incógnita.
2. De dos incógnitas.
3. De tres incógnitas.

Según la potencia de la incógnita
1. De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno
2. De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos.
3. De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres.

Realizado por:

Edwart Alfonso Vargas Cod: 20132379129
Brayan Daniel Villalba Cod: 20132379719

historia de los angulos

La palabra ángulo viene de Latino palabra angulus, significando “una esquina”. La palabra

angulus es un diminutivo, del cual la forma primitiva, angus, no existe en Latín. En el latín

angere, significa “comprimir una curva” o “estrangular”, en Griego ἀγκύλος (ankylοs),

significa “torcido, curvado,” y en Inglés la palabra significa “tobillo"; todos están

conectados con Proto-Indo-Europeo raíz *ank-, significando “doblarse” o “arquearon”.

Una civilización muy antigua, los babilonios, utilizaban un sistema de numeración que

tenía como base el número 60. Actualmente se sigue utilizando este sistema, llamado

sexagesimal, en la medida de la amplitud de ángulos y en la medida del tiempo. Los

babilonios dividían la circunferencia en 360 partes o ángulos iguales y llamaron grado a

cada uno de ellos. Para medir ángulos de forma más precisa introdujeron dos unidades

más pequeñas que el grado: el minuto y el segundo.

    Cuando el hombre se hizo agricultor surgió la necesidad de saber en qué época tenía

que sembrar, recolectar, etc., y de ahí la invención de las estaciones del año y, con ellas,

los primeros calendarios. Un calendario es un sistema de contar y dividir el tiempo. Los

calendarios solares se basan en la duración aparente de la rotación del Sol alrededor de

la Tierra que recibe el nombre de año. Los errores acumulados en la medición del año

originaron dos importantes reformas del calendario: la primera en el año 46 a.c.

(calendario juliano) y la segunda en el año 1582 (calendario gregoriano), actualmente en

vigor en la mayor parte del mundo.

Realizado Por:

David Moreno bravo

Aldair vanegas

Adolfo Pardo

Historia de desigualdades

Las primeras actividades matemáticas de las civilizaciones primitivas se relacionaron con la necesidad de contar rebaños o medir el tiempo. Los hombres primitivos hacían marcas en los árboles para llevar la cuenta de sus posesiones. Los conceptos de igualdad y desigualdad surgieron mucho después. Así, los signos actualmente utilizados para indicar la desigualdad no fueron establecidos hasta el siglo XVII por los matemáticos bouguer y harriot.

No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones pero se cree que se originaron poco después de las ecuaciones (1700aC. - 1700dC.) Debido al surgimiento de un problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un grupo de números.

 Las desigualdades lineales surgen del planteamiento de determinados problemas, como por ejemplo, en una industria ¿cuántas unidades deberá producirse de un artículo si se desea tener utilidades semanales mayores a 10.000UM? También son importantes en la resolución de determinados planteamientos matemáticos.

El primero que usó el signo "=" fue el matemático Robert Recorde, en su obra "The Ground Of Arts", publicada en Londres en 1542.

En el siglo XVII, el inglés Harriot y el francés Bouguer establecieron el uso de los signos "<" y ">" para designar que una cantidad es menor o mayor que otra; por ejemplo:

7 < 15 "siete es menor que quince, 15 > 7 " quince es m

ayor que siete".

Descripción de lo que es una desigualdad

REALIZADO POR:
ANDRES FELIPE OSPINA PAMO             20141379401
OSCAR GALINDO AREVALO                  20141379232
DUVAN MANUEL SANABRIA CRUZ     20141379225

funciones trigonométricas

Reseña Histórica de las funciones trigonométricas El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes. El primer uso de la función seno (sin) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler". La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas. Los historiadores
concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Socrates los iniciadores de la trigonométrica. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo. Hiparco, notable geometría y astrónomo griego, sistematizo estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la base de la trigonométrica moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonométrica. A continuación imágenes de algunos personajes que se le atribuye los fundamentos de trigonometría.

Tales de Mileto

Hiparco de Nicea

Aryabhata

Brahmagupta 

 

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

Leonhard Euler

A continuación verán dos videos para completar el tema de las funciones trigonométricas y su historia.
1: trigonometría reseña histórica

2: historia de la funciones trigonométrica

HISTORIA DE LA FACTORIZACIÓN

La factorización es un tema del cual han tratado numerosos matemáticos. Haciendo un recorrido por la historia de las matemáticas, específicamente con la solución de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales.

La factorización es una de las herramientas más empleadas en el trabajo matemático para convertir una expresión algebraica de manera conveniente.

 Esta tiene una importancia considerable a través de la historia, La solución de ecuaciones algebraicas; en un primer lugar, la factorización surge ante la necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado.

Por otro lado, los babilonios, fueron los primeros que resolvieron, ecuaciones cuadráticas, en unas tablillas descifradas por Neugebaveren 1930, cuya antigüedad es de unos 4.000 años, en estas se encontraron soluciones a varias ecuaciones, empleando el método conocido actualmente como COMPLETAR EL CUADRADO.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Para resolver ecuaciones de este tipo:

El trabajo de los babilonios constituyó un logro notable, teniendo en cuenta que no contaban con la notación moderna y por su alto nivel de abstracción, al considerar las ecuaciones cuárticas como ecuaciones cuadráticas disfrazadas y resolverlas como tales.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma:

´

Donde, a, b, c pueden ser números cualesquiera en cuyo desarrollo, los babilonios se valieron de factorizaciones simples que ya conocían.

Posteriormente, los griegos y los árabes consiguieron resolver ecuaciones de segundo grado utilizando, también, el método de completar el cuadrado con aplicación de áreas; ambas civilizaciones se valieron de representaciones geométricas para mostrar hechos algebraicos, como se evidencia en el segundo libro de los Elementos de Euclides. La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado, no fue encontrada sino hasta el siglo XVI en Italia.

Una ecuación cúbica es de la forma:

Donde a, b, c y d son números cualesquiera, y a es diferente de cero.

Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro en primer lugar. 

 

Más adelante  Niccolo Fontana: apodado Tartaglia obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione, la fórmula conocida con el nombre de FÓRMULA DE CARDANO. 

Otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna". 

Estas ecuaciones nos permiten encontrar las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tercer grado y por tanto factorizar en los números complejos y en los reales, que es nuestro propósito. Es evidente que existen fórmulas similares para polinomios de grado cuatro pero no para grado superior a este; es más, Abel demostró que no existen tales fórmulas para estos grados superiores lo que nos lleva a pensar en la imposibilidad de encontrar métodos generales para factorizar tales polinomios. 

Realizado por:

Jeisson Steven Pérez Maldonado – 20141379076, Brayan Daniel Villalba Barreto – 20132379719, Yenifer Andrea Muete Suarez – 20151579281, María Elena Geney Esquivel – 20141379213.

Historia de los Logaritmos

MARCO HISTÓRICO

 El paso de la Edad Media a los tiempos modernos estuvo marcado por transformaciones cuyos resultados generaron un nuevo estilo de vida. A fines del siglo XV, con la decadencia del feudalismo en Europa, aumenta el poder de una nueva clase social, la burguesía. Ésta comienza a otorgar préstamos a interés, condenados hasta ese entonces como usura. El advenimiento del capitalismo, que estimula la acumulación de riquezas y justifica el lucro, se ve afianzado, además, por los grandes descubrimientos geográficos, que permiten a algunos puertos europeos convertirse en pequeñas capitales financieras y bancarias. Son tiempos de grandes cambios culturales y, sobre todo, de un apasionado retorno a las fuentes antiguas. En cuanto a la ciencia, se origina un proceso de profanidad de la misma, donde el científico es generalmente el burgués. El hombre comienza a observar la naturaleza, a experimentar, a usar su razón con verdadero espíritu de investigación. La Matemática, prácticamente inactiva en Europa desde el siglo IV d.C. en que murieron Pappus y Diofanto, también reaparece en esta época. Afortunadamente, los árabes, que habían traducido los antiguos manuscritos griegos, fueron durante más de medio milenio los leales guardianes de aquellos conocimientos, a los que agregaron sus propios descubrimientos.

Italia abre el camino con Scipio Ferro (1465-1526), Niccolo Fontana -apodado Tartaglia- (1500-1557) y Girolamo Cardano (1501-1576). En Alemania surgen Stifel, Durero y Copérnico. La escena se traslada nuevamente a Italia con Galileo Galilei (1564-1642). Vive en esta época también el gran astrónomo alemán Johann Kepler (1571-1630). En la última mitad de siglo XVI Francia produce a François Viète, Escocia a John Napier y en Suiza nace Jobst Burgi. 

CAUSAS DEL DESCUBRIMIENTO

A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente a la expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación, eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos laboriosos que los utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la multiplicación, de la división, etc. El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos. Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía."

 PRECURSORES:

•  ARQUÍMEDES Y STIFEL

Los orígenes del descubrimiento, o invención, de los logaritmos se remontan hasta Arquímedes, en la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. Para comprender tal comparación escribamos, por ejemplo, las siguientes dos sucesiones:

A los números de la primera sucesión, que es aritmética, los llamaremos logaritmos; a los de la segunda sucesión (la de abajo), que es geométrica, los llamaremos antilogaritmos.

La regla de Arquímedes, dice que "para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado".

Esta comparación de dos sucesiones vuelve a aparecer en el siglo XVI, en los trabajos de un matemático alemán, Miguel Stifel (1487-1567), quien publicó en Nuremberg su "Arithmetica integra" en el año 1544. En esta obra se encuentra por primera vez el cálculo con potencias de exponente racional cualquiera y, en particular, la regla de la multiplicación: n m n m a a a , para todos los números racionales n, m.

Stifel da también la primera tabla de logaritmos que existe, aunque en forma muy rudimentaria. Contiene sólo los números enteros desde -3 hasta 6, y las correspondientes potencias de 2:

A los números de la sucesión superior los denominó exponentes. Pero para hacer realmente aplicables los logaritmos al cálculo numérico, le faltaba a Stifel todavía un medio auxiliar importante, las fracciones decimales; y sólo cuando se popularizaron éstas, después del año 1600, surgió la posibilidad de construir verdaderas tablas logarítmicas. En una parte de su libro, Stifel hace la siguiente observación: "Se podría escribir todo un libro nuevo sobre las propiedades maravillosas de esos números, pero debo ponerme coto a mí mismo en este punto y pasar de largo con los ojos cerrados". Más adelante agrega: "La adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la geométrica, lo mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división en ésta. La simple multiplicación en la sucesión aritmética, corresponde a la multiplicación por sí mismo, potenciación, en la geométrica; y la división en la primera corresponde a la extracción de la raíz en la segunda, algo así como la división por dos, corresponde a la extracción de la raíz cuadrada".

Por ejemplo, si se tuviera que multiplicar 2 por 16, sólo se tendría que sumar los números de la sucesión aritmética que se hallan encima de éstos, es decir, 1 y 4, obteniéndose 5. Debajo de éste encontramos el número 32 de la sucesión geométrica, que es el resultado de la multiplicación. Para efectuar una división se realiza una sustracción. Así, 256 dividido 32, se hace 8 – 5 = 3, debajo del cual se ve el número 8, que es el resultado de la división. La potenciación, llamada por Stifel "multiplicación por sí mismo", se efectúa por la suma "consigo mismo" del correspondiente número aritmético. Es decir, para hacer 64 se suma tres veces el número 2, que es el correspondiente en la sucesión aritmética al número 4. O sea, 2+2+2 = 6 o 2 3 6 , debajo del cual encontramos el 64, lo que significa que este número es el cubo de 4. La radicación se obtiene mediante la división. Así, la raíz cúbica de 64, se obtiene dividiendo al número 6, que es el correspondiente número aritmético de 64, por 3. Es decir, 6 3 = 2, debajo del cual encontramos el cuatro.

• JOHN NAPIER

Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó a ser un importante centro de estudios sobre problemas relacionados con la navegación. Dos matemáticos daneses, Wittich y Clavius (cuya obra De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos, mediante el uso de las fórmulas del seno y del coseno de la suma de dos ángulos. Este recurso de cálculo sirvió probablemente de inspiración al escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre latinizado es Neper, en la deducción de un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa. El descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos Tycho Brahe y Johann Kepler. En el año 1614 en Edimburgo aparecen sus Mirifici logarithmorum canonis descriptio, o “descripción de la maravillosa regla de los logaritmos”, es decir, las primeras tablas de logaritmos; sin embargo, no se describe aquí la forma en que fueron construidas. A inicios de 1619, dos años después de su muerte, aparece el procedimiento utilizado, bajo el título Mirifici logarithmorum canonis constructio, es decir, “construcción de la maravillosa regla de los logaritmos”.

Napier fue el inventor de la palabra logaritmo (del griego "logos", razón, y "arithmos", número: número de razones, pues en el caso de ser el logaritmo un número entero, es el número de factores que se toman de la razón dada (base) para obtener el antilogaritmo. Además, introdujo los logaritmos mediante una concepción cinemática, cuyo origen, según él se imaginaba, era un movimiento sincrónico, una especie de fluctuación entre dos sucesiones. A continuación se describe esta concepción.

Sean un segmento AB y una semirrecta HF. Supongamos que los móviles c e i parten simultáneamente de A y H con la misma velocidad inicial y en dirección a B y F, respectivamente. 

Supongamos que el móvil c tiene una velocidad numérica igual a la distancia y; además, el móvil i se desplaza con una velocidad uniforme numéricamente igual a su velocidad inicial. Napier definió la longitud x como el logaritmo de y.

Recurriendo al cálculo diferencial e integral podemos escribir:

Por lo cual

Y, además

Napier toma el valor 10⁷ para la velocidad de c en A, con el objeto de eliminar la dificultad surgida al utilizar fracciones.

Partiendo de (1) e integrando, tendremos:

Si t = 0, entonces K = ln 10⁷ (ya que longitud de AB es 10⁷ ). Así,

Esto es,

• JOBST BÜRGI

El descubrimiento de los logaritmos es un claro ejemplo de lo habituales que resultan las duplicidades en las innovaciones. Hoy se sabe que el relojero y constructor de instrumentos suizo Jobst Bürgi (1552-1632), se hallaba en posesión de este conocimiento antes que Napier, incluso se afirma que concibió la idea del logaritmo ya en el año 1586, estimulado por las observaciones antes mencionadas de Stifel, y en el Libro de cálculo de Simón Jacob (1565). Pero, según se dice, fue por falta material de tiempo que no lo dio a conocer, motivo por el cual el astrónomo Kepler pudo echarle en cara el hecho de "haber dejado en el desamparo al hijo de su espíritu, en vez de educarlo para la publicidad". Se dice que así procedió, pues, como se le decía en latín, era un "secretorum suorum custos" (guardián de sus secretos).

Hubo que esperar hasta el año 1620 para que Bürgi publicara en Praga sus tablas logarítmicas bajo el título Arithmetische und geometrische Progress Tabulen. Estas tablas se publicaron en circunstancias exteriores desfavorables, pues el 8 de noviembre de 1620 fue tomada Praga, y permanecieron desconocidas. Bürgi vió que el valor práctico de las sucesiones de Stifel es aplicable con provecho en el caso de que sus respectivos términos se aproximen uno al otro, lo más posible. A la vez observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier razón racional q.

 BASES DE NAPIER Y BÜRGI

Existe la creencia general de que Napier ha sido el inventor de los logaritmos naturales, cuya base es el número e. Pero esto es absolutamente falso. Es sabido que Bürgi utilizó como base, aunque él mismo no lo supiera, el número

Que está muy cercano al verdadero valor de e = 2.718281828....

Bürgi partió de una progresión aritmética de primer término 0 y razón 10 y último término 32,000. Estos números, que serían nuestros logaritmos, los denomina números rojos. La progresión geométrica correspondiente empieza con el número 10⁸ y la razón (que elige, al igual que Napier, cercana a la unidad, para lograr de este modo que los sucesivos términos de la progresión geométrica difieran muy poco entre sí) es 1 +10⁴. Estos son sus números negros. La tabla es de doble entrada, entrando con los números rojos, de manera que Bürgi construyó una tabla de antilogaritmos. Para poder comprobar el surgimiento del número e en el sistema de Bürgi, debemos multiplicar a cada término de la progresión aritmética por 10^-5. Si elegimos un término rojo, por ejemplo 10, y su correspondiente negro, 4 1 10 8 10 podemos efectuar la siguiente deducción: 4 4 8 10 loga 1 10 10 4 8 loga 1 10 loga 10 4 loga 1 10 Por lo tanto, 10 4 4 a 1 10 y de aquí, 1 10 2.718281828 4 1 0 4 a e La tabla de Napier no daba los logaritmos de la sucesión de los números naturales, sino de los valores de los senos de 0º a 90º; en ella, para obviar los números negativos y para que los términos de su progresión geométrica fueran potencias enteras muy próximas a un seno dado, eligió como razón un número próximo a la unidad, pero menor que ella: 0.9999999. En realidad, Napier no habla de base alguna, pero la que se deduce de sus cálculos se aproxima mucho a la expresión 14 10 3 1 1 1 e que es algo menor que la recíproca del logaritmo natural. Una comparación de los logaritmos de Napier y Bürgi se hace en las tablas siguientes:

• HENRY BRIGGS

 Las tablas de Napier, aparecidas en 1614, causaron un gran impacto en toda Europa, pero especialmente en Henry Briggs (1561-1630), profesor de geometría de Oxford. Briggs visitó a Napier en Edimburgo y, después de una discusión, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, puesto que Napier no poseía ya fuerzas para emprender un trabajo de esa envergadura. En SIGMA, El Mundo de las Matemáticas, aparece el siguiente relato del primer encuentro entre el barón de Merchiston, John Napier, y Henry Briggs: "no podía tener tranquilidad en sí, hasta que no hubiera visto a la noble persona de cuya sola invención éstos eran... Mr. Briggs señala un día determinado para encontrarse en Edimburgo; pero falló en su propósito, de modo que Lord Napier temía que no viniera. Sucedió que un día, cuando John Marr y Lord Napier estaban hablando de Mr. Briggs: 'Ah, John -decía Merchiston-, ahora Mr. Briggs no vendrá', en el mismo instante alguien llama a la puerta; John Marr se apresuró a bajar y resultó ser, para su gran alegría, Mr. Briggs. Conduce a Mr. Briggs a la habitación de Milord, donde estuvieron casi un cuarto de hora, cada uno contemplando al otro con admiración, antes de que se dijera ni una palabra; finalmente, Mr. Briggs comenzó: 'Milord, he emprendido este largo viaje para ver a vuestra persona, y para saber mediante qué mecanismo de inventiva o ingenio pensásteis por primera vez en esta ayuda tan excelente para la astronomía, a saber, los logaritmos. Pero, Milord, me extraña que, habiéndolos descubierto vos, nadie los haya descubierto antes, cuando ahora que los conocemos parece tan fácil.' " En el año 1617, año de la muerte de Napier, Briggs publicó sus Logarithmorum chilias prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1,000, con una precisión de 14 decimales. En 1624 en su obra Arithmetica logarithmica, ya aparece la palabra característica (parte entera). La palabra mantisa (parte decimal) fue utilizada por primera vez por Wallis en 1693. Las tablas que aparecen en la obra de Briggs contienen los logaritmos decimales de los números 1 a 20,000 y de 90,000 a 100,000, con 14 cifras decimales de precisión. Existen más de veinte obras sobre este tema publicadas entre 1614 y 1631, incluida una de Adrián Vlacq y E. Decker, quienes en 1628 publicaron en Holanda los logaritmos desde 1 a 100,000, aproximados hasta 10 cifras decimales. Edward Wright (1559-1615) publicó una traducción inglesa del tratado de Napier, aparecido en 1614, en la que se encuentran algunos logaritmos naturales. John Speidell, en una obra titulada New logarithmes, publicada en Londres en 1619, reajusta los logaritmos de Napier introduciendo, a partir de las funciones trigonométricas, los logaritmos naturales (de base e). El inventor de la "Regla de cálculo", William Oughtred, establece las propiedades:

LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS

Como se vio anteriormente, Stifel propuso dos sucesiones: una aritmética (que llamamos logaritmos) y otra geométrica (que llamamos antilogaritmos). Pero esta primitiva tabla de logaritmos y antilogaritmos no es suficiente para poder llevar a cabo multiplicaciones y otras operaciones, a no ser que sea posible ampliarla y completarla de modo que comprenda todos los números cuyo producto se desea obtener. Para distinguir los logaritmos correspondientes a una determinada sucesión geométrica, de los logaritmos correspondientes a otra sucesión geométrica, designamos por a la base de la sucesión y escribimos esta a como adjetivo matemático en la parte inferior derecha, para señalar qué tablas de logaritmos estamos usando. El logaritmo de un número p en una cierta base a es el exponente al que debe elevarse la base a para obtener dicho número p. Análogamente, si m es el logaritmo de p en una base a, entonces p es el antilogaritmo de m en dicha base. En símbolos: p a m a p m log o bien, p antiloga m . Esta notación permite escribir la regla de la multiplicación en otra forma: 

Esta conclusión expresa que, en una cierta base, el logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de dichos números en la misma base. Del mismo modo pueden deducirse las reglas conocidas restantes.

TABLAS EN BASE 2

Toda tabla de logaritmos es a la vez tabla de antilogaritmos. Como ejemplo de tabla logarítmica, de tres decimales, podemos escribir la siguiente, basada en la progresión geométrica n 2 , es decir, con base igual a 2:

Los números n de la sucesión aritmética son logaritmos, los números N de la sucesión geométrica 2 n son antilogaritmos. Así, log2 2.828 1.5 y anti log 1.5 2.828. 2 Si quisiéramos multiplicar, por ejemplo, 2.828 5.657, se procedería del siguiente modo. 

La tabla dice: 

Luego:

TABLAS EN BASE 10

Para las aplicaciones prácticas, la base de las tablas logarítmicas es 10, por ser 10 la base de nuestro sistema de numeración. Esto simplifica los cálculos de las tablas logarítmicas por la siguiente razón: siendo 10 la base, los números fundamentales de las tablas están contenidos en las dos sucesiones

Podría hacerse, por ejemplo, el siguiente cálculo:

es decir, 

Si quisiéramos saber, por ejemplo, el log10 1.62, se procedería de la siguiente forma:

De manera similar

Es decir, que a pesar de que se altere el lugar del punto decimal en un número, no se modifica en nada el valor de la cantidad que está a la derecha del punto decimal en su logaritmo. Por lo tanto, si tuviéramos los logaritmos de todos los números comprendidos entre 1 y 10, a intervalos suficientemente pequeños, tendríamos todo lo necesario para multiplicar logarítmicamente. Supongamos que necesitáramos multiplicar 1.536 x 77. Las tablas nos darían

Entonces

El resultado de la multiplicación anterior es aproximado, con un error menor de tres centésimas, dado que se han usado tablas con sólo cuatro cifras decimales.

Pero para poder aceptar esta interpretación del logaritmo debe comprobarse que se cumpla la propiedad fundamental, por la cual el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos de los factores; lo que puede demostrarse muy fácilmente. Este último análisis se corresponde también con el proceso histórico. En el año 1650, gracias a los adelantos en geometría analítica y en el cálculo infinitesimal, pudo llegarse a los resultados anteriores. Con estos descubrimientos, de principios del siglo XVII, se lograron efectuar operaciones que anteriormente ni siquiera podían pensarse.

A inicios del siglo XVIII el gran matemático Leonard Euler descubriría las profundas relaciones entre la función exponencial ax = b y su inversa x =log _ab.

En palabras de Egmont Colerus: Sin embargo, aún no se sospechaba que el nuevo método calculístico, sobre todo en sus últimos principios constructivos, simultáneamente se transformaría en eje de toda la Matemática infinitesimal. Nadie pensaba aún en que la función logarítmica se habría de transformar en un puente tendido sobre el camino que lleva a la solución de integraciones, aparentemente insolubles. Y menos aún se pensaba en el futuro del mágico número e, para el cálculo de intereses y de probabilidades.

Durante más de tres siglos todos los cálculos complicados se realizaban con logaritmos. Casi no existió xm descubrimiento científico o avance tecnológico que no usara este Invento en forma directa o indirecta.

La regla de cálculo, basada en los logaritmos, contribuyó a difundir el uso de este Invento, Algunos historiadores sitúan los albores del invento de este instrumento de cálculo tan temprano como 1632 y se lo atribuyen al matemático inglés Oughtred.

Recientemente, el uso de computadoras modernas ha hecho que las tablas logarítmicas y la regla de cálculo resulten obsoletas. Sin embargo, la obra de Napier sigue teniendo vigencia, por las importantes funciones que introdujo, la logarítmica y la exponencial, funciones que sirven para interpretar y resolver numerosos problemas en las más diversas ramas de la ciencia y de la técnica.

Nombre: Harby Salamanca

Cod: 20082279028